Egzamin ósmoklasisty z matematyki: 10 celów, krok po kroku

Trapez $ABCD$ podzielono na kwadrat $AEGD$, trójkąt $EFG$ o bokach 6, 8 i 10 oraz romb $FBCG$. Trzeba obliczyć obwód trapezu.

Odpowiedź „72” to $56+6+10$, czyli obwód z doliczonymi odcinkami $EG$ i $FG$. Te odcinki to granice między figurami w środku trapezu. Obwód to droga dookoła figury, po samym brzegu.

Bok kwadratu to $|EG|=6$, a bok rombu $|FG|=10$. Brzeg trapezu: $|AB|=6+8+10=24$, $|BC|=10$, $|CD|=10+6=16$, $|DA|=6$. Obwód: $24+10+16+6=56$, odpowiedź A.

W prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$. $|EC|=6$ cm i $|EF|=10$ cm; trzeba obliczyć obwód prostokąta.

Odpowiedź „28 cm” to $2\cdot (6+8)$, czyli obwód policzony z połówek boków. Odcinek $FC$ ma 8 cm, ale to tylko połowa boku $CD$, bo $F$ jest jego środkiem. Tak samo $EC$ to połowa boku $BC$.

Trójkąt $ECF$ ma kąt prosty przy $C$, więc z twierdzenia Pitagorasa $|FC|=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm. Boki prostokąta to $2\cdot 6=12$ cm i $2\cdot 8=16$ cm, a obwód $2\cdot (12+16)=56$ cm, odpowiedź B.

Boisko ma wymiary 46 m i 30 m. Na 40 m² potrzeba 1 kg nasion trawy, a nasiona są tylko w workach po 10 kg, po 163 zł za worek; trzeba obliczyć koszt nasion na całe boisko.

Rozwiązanie z „3 worki, 489 zł” ma dobry początek: pole $46\cdot 30=1380$ m² i masę $1380:40=34,5$ kg, za co jest 1 punkt. Potem 3,45 zaokrąglono w dół, jak przy zwykłym zaokrąglaniu. Trzy worki to 30 kg i na całe boisko nie wystarczą, więc punkt za liczbę worków i punkt za koszt przepadają.

Potrzeba 34,5 kg nasion, czyli 3,45 worka. Części worka nie da się kupić, więc kupujesz 4 worki i płacisz $4\cdot 163=652$ zł.

Na rysunku jest fragment siatki ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: podstawa to kwadrat o boku 40 cm, a ściany boczne to trójkąty o ramionach 50 cm. Trzeba obliczyć sumę długości wszystkich krawędzi.

Odpowiedź „560 cm” to $4\cdot 40+8\cdot 50$, czyli policzone oba ramiona każdego z 4 trójkątów. Po sklejeniu siatki ramiona sąsiednich trójkątów łączą się w jedną krawędź boczną. Siatka ma 8 ramion, a bryła tylko 4 krawędzie boczne.

Ostrosłup czworokątny ma 4 krawędzie podstawy i 4 krawędzie boczne. Suma: $4\cdot 40+4\cdot 50=160+200=360$ cm, odpowiedź B.

Staś ma dwa jednakowe ostrosłupy prawidłowe czworokątne, każdy o polu powierzchni całkowitej 80 cm², a podstawa i ściana boczna mają równe pola. Skleił je podstawami; trzeba podać pole powierzchni nowej bryły.

Odpowiedź „160 cm²” to $2\cdot 80$, czyli pola obu klocków dodane w całości. Pole powierzchni to suma pól ścian, które widać z zewnątrz. Sklejone podstawy przylegają do siebie i znikają z powierzchni.

Każdy klocek ma 5 ścian o równych polach: $80:5=16$ cm². Po sklejeniu z zewnątrz zostaje 8 ścian bocznych, czyli $8\cdot 16=128$ cm², odpowiedź B.

Z trzech sześcianów o krawędzi 10 cm i jednego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże: jedna to sześcian z ostrosłupem na górze, druga to dwa sześciany. Ostrosłup ma krawędź podstawy 9 cm i objętość 324 cm³; trzeba obliczyć różnicę wysokości wież.

Równanie „$324=9\cdot 9\cdot H$” to wzór na objętość prostopadłościanu, a nie ostrosłupa. Ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości mieści 3 razy mniej niż prostopadłościan, stąd $\frac{1}{3}$ we wzorze. Klucz daje 1 punkt tylko za równanie z poprawnym wzorem na objętość ostrosłupa, więc tu nie ma żadnego punktu.

$324=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 9\cdot H$, czyli $324=27H$ i $H=12$ cm. Wieża z ostrosłupem ma $10+12=22$ cm, wieża z dwóch sześcianów $10+10=20$ cm, różnica to 2 cm.

Ogrodnik kupił $x$ kg ziemi. W maju zużył $\frac{1}{3}$ całej masy, w czerwcu połowę tego, co zostało, a na lipiec zostało 60 kg; trzeba wybrać równanie, które to opisuje.

W równaniu z „$\frac{1}{2}x$” połowa liczona jest z całej ziemi. Zdanie z treści mówi o połowie masy ziemi, która została po maju, czyli o połowie z $x-\frac{1}{3}x$.

Po maju zostaje $x-\frac{1}{3}x$. W czerwcu ubywa $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x)$. Reszta to 60 kg: $(x-\frac{1}{3}x)-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x)=60$, odpowiedź D. Z tego równania $x=180$ kg.

Hania ma 4 korale srebrne, 8 czerwonych i kilka zielonych, a zielone to 20% wszystkich korali naszyjnika. Trzeba obliczyć liczbę zielonych korali.

Zapis „20% z 12” bierze procent z korali srebrnych i czerwonych. W treści zielone to 20% wszystkich korali, czyli tych 12 i zielonych razem. Wynik 2,4 nie może być liczbą korali, a takie rozwiązanie nie spełnia żadnego kryterium za 1 punkt.

Niech $x$ to liczba zielonych korali. Wszystkich jest $12+x$, więc $x=0,2\cdot (12+x)$, za co jest 1 punkt. Stąd $0,8x=2,4$ i $x=3$. Inny sposób: 12 korali to 80% wszystkich, więc wszystkich jest 15, a zielonych $15-12=3$.

Od 9:00 do 12:00 przeprowadzono połowę konkurencji zaplanowanych na dzień sportu, a od 12:00 do 14:00 jeszcze $\frac{1}{3}$ pozostałych. Potem zaczęło padać i 12 konkurencji się nie odbyło; trzeba obliczyć, ile konkurencji planowano.

Zapis „$\frac{1}{3}x$” liczy trzecią część wszystkich konkurencji. W treści stoi „$\frac{1}{3}$ z pozostałych”, czyli z tej połowy, która została po 12:00. Równanie opisuje inne zadanie i daje 72, a klucz nie ma za nie żadnego punktu.

Od 12:00 do 14:00 odbyła się $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ wszystkich konkurencji. Nie odbyło się $\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ wszystkich, czyli 12 konkurencji to $\frac{1}{3}$ planu, więc planowano $3\cdot 12=36$ konkurencji. Sprawdzenie: 18 rano, 6 po południu i 12 odwołanych, razem 36.

W sadzie grusz jest o 40% więcej niż jabłoni, a jabłoni jest o 50 mniej niż grusz. Trzeba obliczyć liczbę jabłoni.

Odpowiedź „20” to 40% z liczby 50. Słowa „o 40% więcej niż jabłoni” mówią jednak, że 40% liczysz z liczby jabłoni. Różnica 50 drzew to więc 40% jabłoni, a nie liczba, z której bierzesz procent.

Niech $x$ to liczba jabłoni. Grusz jest $1,4x$, a różnica to $1,4x-x=0,4x$. Z treści $0,4x=50$, więc $x=50:0,4=125$, odpowiedź D. Sprawdzenie: grusz jest 175, a $175-125=50$.

Diagram kołowy pokazuje, że drużyna wygrała 25% meczów sezonu, a zremisowała 45%. Wygranych meczów było 10; trzeba obliczyć, ile meczów drużyna przegrała.

Przegrane to $100\%-25\%-45\%=30\%$ i ten krok jest dobry. Błąd jest dalej: „$0,3\cdot 10=3$” liczy 30% z meczów wygranych. Klucz daje 1 punkt za obliczenie liczby wszystkich meczów albo za poprawny sposób liczenia przegranych, a tu nie ma ani jednego, więc całość to 0.

25% to 10 meczów, więc 100% to $10\cdot 4=40$ meczów, za co jest 1 punkt. Przegrane: $0,3\cdot 40=12$ meczów, drugi punkt.

Trzeba przekształcić wyrażenie $x(x+4)-3(2x-5)$ do prostszej postaci.

W odpowiedzi „$x^2-2x+5$” liczba $-3$ pomnożyła tylko $2x$, a liczba $-5$ zmieniła się w $+5$ bez mnożenia przez 3. Liczba przed nawiasem mnoży każdy wyraz w nawiasie, razem z jego znakiem.

$x(x+4)=x^2+4x$ oraz $-3(2x-5)=-6x+15$. Po dodaniu: $x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$, odpowiedź D.

W pudełku są piłki białe, fioletowe i czarne. Fioletowych jest $x$, białych 4 razy więcej niż fioletowych i o 3 mniej niż czarnych; trzeba wybrać wyrażenie na liczbę wszystkich piłek.

Odpowiedź „$9x-3$” powstaje, gdy słowa „o 3 mniej” przypisze się czarnym piłkom i zapisze ich liczbę jako $4x-3$. W zdaniu to białych jest mniej. Skoro białych jest o 3 mniej niż czarnych, to czarnych jest o 3 więcej niż białych.

Fioletowe $x$, białe $4x$, czarne $4x+3$. Razem $x+4x+4x+3=9x+3$, odpowiedź A. Sprawdzenie na liczbach: dla $x=2$ są 2 fioletowe, 8 białych i 11 czarnych, razem 21, a $9\cdot 2+3=21$.

Pociąg o długości 150 m jedzie przez tunel o długości 350 m z prędkością 20 m/s. Trzeba obliczyć czas od wjazdu czoła pociągu do tunelu do wyjazdu z tunelu końca ostatniego wagonu.

Odpowiedź „17,5 s” to $350:20$, czyli czas, w którym czoło pociągu przejedzie tunel. W tej chwili koniec pociągu ma jeszcze 150 m do wyjazdu z tunelu. Pytanie dotyczy końca ostatniego wagonu.

Koniec pociągu przejeżdża $350+150=500$ m. Czas: $500:20=25$ s, odpowiedź C.

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 h 54 min. Pociąg wyjechał o czasie, a przyjechał o 17:31 z czterominutowym opóźnieniem; trzeba podać godzinę odjazdu.

Odpowiedź „14:41” wychodzi z $17:31-2:54=14:37$ i dodania 4 minut. Pociąg jechał jednak dłużej niż planowo: 2 h 54 min i jeszcze 4 min opóźnienia, czyli 2 h 58 min. Opóźnienie trzeba więc odjąć, a nie dodać.

Planowy przyjazd: $17:31-0:04=17:27$. Odjazd: $17:27-2:54=14:33$, odpowiedź D. Sprawdzenie: od 14:33 do 17:31 mija 2 h 58 min.

Samochód przejechał 120 km w 75 minut, a bus jechał tą samą trasą ze średnią prędkością 80 km/h. Trzeba obliczyć, o ile krótszy był czas jazdy samochodu.

W zapisie „75 min to 0,75 h” przecinek potraktowano jak granicę między godzinami a minutami. Godzina ma 60 minut, a nie 100, więc 0,75 h to 45 minut, a 75 minut to 1,25 h. Klucz daje 1 punkt za poprawne obliczenie czasu busa, $120:80$, ale wynik 0,75 h jest zły.

Czas busa: $120:80=1,5$ h, czyli 90 min. Różnica: $90-75=15$ min.

Trzeba obliczyć $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot (-\frac{3}{2})$. Odpowiedzi to $-\frac{15}{14}$, $-\frac{9}{14}$, $\frac{2}{7}$ i $\frac{8}{7}$.

Odpowiedź „$-\frac{9}{14}$” to wynik liczenia od lewej: $(\frac{5}{7}-\frac{2}{7})\cdot (-\frac{3}{2})=\frac{3}{7}\cdot (-\frac{3}{2})$. Kolejność działań jest inna: mnożenie i dzielenie wykonujesz przed dodawaniem i odejmowaniem, chyba że nawias mówi inaczej.

Najpierw $\frac{2}{7}\cdot (-\frac{3}{2})=-\frac{3}{7}$. Potem odejmujesz liczbę ujemną, czyli dodajesz: $\frac{5}{7}-(-\frac{3}{7})=\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$, odpowiedź D.

Plik Igora ma 13 MB, a plik Lidki jest 2,5 razy większy. Trzeba dokończyć zdanie: plik Lidki jest większy od pliku Igora o ile megabajtów.

Odpowiedź „32,5 MB” to $13\cdot 2,5$, czyli cały rozmiar pliku Lidki. Słowa „2,5 razy większy” mówią o mnożeniu, a słowa „o ile większy” o odejmowaniu. Zadanie używa obu, więc potrzebne są oba działania.

Plik Lidki: $13\cdot 2,5=32,5$ MB. Różnica: $32,5-13=19,5$ MB, odpowiedź B.

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia cen tych czterech rzeczy to 6 zł, a zeszyty kosztowały razem 15 zł; trzeba podać cenę bloku.

Odpowiedź „5 zł” to wynik dzielenia $15:3$, czyli cena jednego zeszytu. Z ceną bloku nie ma ona nic wspólnego. Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez to, ile ich jest, więc ze średniej najpierw odtwarzasz sumę.

Suma cen czterech rzeczy to $4\cdot 6=24$ zł. Zeszyty kosztowały razem 15 zł, więc blok kosztował $24-15=9$ zł, odpowiedź D.

Średnia czterech liczb $a$, $b$, $c$, $d$ to 9, a średnia dwóch liczb $e$ i $f$ to 6. Trzeba uzupełnić dwa zdania: o ile suma czterech liczb jest większa od sumy dwóch (A: 3 albo B: 24) i ile wynosi średnia wszystkich sześciu (C: 8 albo D: 7,5).

Luka „7,5” to $(9+6):2$, czyli średnia z dwóch średnich. Taki rachunek traktuje obie grupy jak równe, a pierwsza ma cztery liczby, druga tylko dwie. Punkt jest tylko za obie luki dobrze, więc ten błąd zabiera cały punkt, nawet przy dobrej pierwszej luce.

Sumy to $4\cdot 9=36$ i $2\cdot 6=12$, więc różnica sum to $36-12=24$, luka B. Średnia sześciu liczb to $(36+12):6=48:6=8$, luka C.

Zakład szyje poduszki od poniedziałku do piątku, po 7 godzin dziennie, średnio 3 poduszki na godzinę. W 2020 roku 1 marca wypadł w niedzielę i w marcu nie było innych dni wolnych; trzeba obliczyć, ile poduszek uszyto w marcu.

Rozwiązanie z „marzec ma 30 dni” ma dobry pomysł, ale złą liczbę dni, bo marzec ma 31 dni. Wychodzi 21 dni roboczych zamiast 22 i 441 poduszek zamiast 462. Klucz za takie rozwiązanie doprowadzone do końca bez innych błędów daje 2 punkty z 3.

1 marca to niedziela, więc niedziele to 1, 8, 15, 22 i 29 marca, a soboty 7, 14, 21 i 28 marca. Dni robocze: $31-4-5=22$. Godziny pracy: $22\cdot 7=154$, a poduszki: $154\cdot 3=462$.

W trójkącie $ABC$ narysowano wysokości $CD$ i $AE$, a kąt rozwarty między nimi ma $138^{\circ }$. Trzeba obliczyć zaznaczony kąt $\alpha$.

Odpowiedź „$42^{\circ }$” to $180^{\circ }-138^{\circ }$, czyli kąt przyległy: ten, który razem z $138^{\circ }$ daje kąt półpełny. To dopiero pierwszy krok. Kąt $\alpha$ jest trzecim kątem trójkąta, w którym jeden kąt ma $42^{\circ }$, a drugi $90^{\circ }$, bo wysokość tworzy z bokiem kąt prosty.

$180^{\circ }-138^{\circ }=42^{\circ }$. W trójkącie, w którym wysokość tworzy z bokiem kąt prosty: $\alpha =180^{\circ }-90^{\circ }-42^{\circ }=48^{\circ }$, odpowiedź D.

W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ ma $35^{\circ }$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, $|AD|=|BD|$, a kąt $ADC$ ma $130^{\circ }$; trzeba obliczyć kąt $CAB$.

Odpowiedź „$95^{\circ }$” to $180^{\circ }-35^{\circ }-50^{\circ }$, gdzie $50^{\circ }$ to kąt $ADB$. Ten kąt leży jednak przy punkcie $D$, a nie przy wierzchołku $B$. W trójkącie równoramiennym, czyli takim, który ma dwa równe boki, równe są kąty przy trzecim boku, tu przy boku $AB$.

$|\angle ADB|=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. Trójkąt $ABD$ ma $|AD|=|BD|$, więc kąty przy boku $AB$ są równe: $(180^{\circ }-50^{\circ }):2=65^{\circ }$. W trójkącie $ABC$: $|\angle CAB|=180^{\circ }-35^{\circ }-65^{\circ }=80^{\circ }$, odpowiedź D.

Adam podzielił każdy z 4 arkuszy kartonu na 4 części, a każdą część jeszcze raz na 4. Karty dostaje po równo 5 graczy; trzeba uzupełnić, ile jest kart (A: 32 albo B: 64) i ile najwięcej kart dostanie każdy gracz (C: 12 albo D: 13).

Luka „13” to $64:5=12,8$ zaokrąglone w górę, jak przy zwykłym zaokrąglaniu. Tu w górę zaokrąglić nie wolno, bo kart nie przybędzie: $5\cdot 13=65$, a kart jest 64.

Kart jest $4\cdot 4\cdot 4=64$. Dzielisz z resztą: $64=5\cdot 12+4$, więc każdy gracz dostaje 12 kart, a 4 zostają. Luki B i C.

Listewkę o długości 50 cm Iwona chciała pociąć co 5 cm i zaznaczyła linie cięcia na czerwono, a Agata co 2 cm i zaznaczyła je na zielono. Trzeba policzyć, ile razy linia czerwona pokrywa się z zieloną.

Odpowiedź „5” to wynik dzielenia $50:10$. Tak liczy się kawałki listewki, a nie linie cięcia. Na końcu listewki, w punkcie 50 cm, nikt nie tnie, bo tam listewka się kończy.

Linie pokrywają się tam, gdzie liczba centymetrów dzieli się przez 5 i przez 2, czyli co $\mathrm{NWW}(5,2)=10$ cm. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie. Wewnątrz listewki takie linie leżą na 10, 20, 30 i 40 cm, czyli 4 razy, odpowiedź B.

Na planie miasta w skali $1:4000$ odległość między dwoma przystankami to 8 cm. Trzeba podać tę odległość w terenie.

Rachunek $8\cdot 4000=32000$ cm jest dobry. Odpowiedź „3200 m” powstaje przy zamianie centymetrów na metry przez dzielenie przez 10. Przez 10 dzieli się przy zamianie milimetrów na centymetry.

Skala $1:4000$ znaczy, że 1 cm na planie to 4000 cm w terenie. $8\cdot 4000=32000$ cm, a $32000:100=320$ m, odpowiedź A.

Mała kwadratowa tablica narysowana w skali $1:20$ ma bok 3 cm. Duża prostokątna tablica ma naprawdę 240 cm na 90 cm. Trzeba obliczyć, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej.

W ilorazie „$21600:9$” pole dużej tablicy jest prawdziwe, a pole małej to pole kwadratu z rysunku. Kwadrat z rysunku jest 20 razy mniejszy od prawdziwej tablicy w każdym kierunku. Wynik 2400 nie ma sensu, a klucz nie daje za takie rozwiązanie punktu.

Bok małej tablicy w rzeczywistości: $3\cdot 20=60$ cm, więc jej pole to $60\cdot 60=3600$ cm². Pole dużej: $240\cdot 90=21600$ cm². Iloraz: $21600:3600=6$. Szybciej: $240:60=4$ i $90:60=1,5$, a $4\cdot 1,5=6$.

Czworokąt $ABCD$ składa się z dwóch trójkątów prostokątnych, $ABD$ i $DBC$, które mają wspólny bok $DB$. $|AB|=|BC|=1$ i $|AD|=\sqrt{2}$; trzeba obliczyć $|CD|$.

Odpowiedź „$\sqrt{3}$” to wynik pierwszego trójkąta: $|DB{|}^2=1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3$. Odcinek $DB$ to wspólny bok obu trójkątów, a $CD$ leży dopiero w drugim. Rachunek urwał się w połowie.